Иллюстрированный самоучитель по Mathematica

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica


 

Статистические расчеты— пакет Statistics

 

Учитывая ограниченный объем книги и приведенные выше обстоятельства, данный раздел не содержит исчерпывающего описания всех сотен функций расширения Statiatics, а лишь дает обзор этого пакета с описанием наиболее часто используемых средств статистики, относящихся к обработке данных. Это не слишком снижает ценность описания, поскольку функции статистики по большей части просты и имеют вполне очевидные (для специалистов) имена.

Состав пакета Statistics

Пакет расширения Statistics содержит следующие подпакеты:

  • Confidencelntervals — функции доверительных интервалов;
  • ContinuousDistributions — функции непрерывных распределений;
  • DataManipulation — манипуляции с данными;
  • DataSmoothing — сглаживание данных;
  • DescriptiveStatistics — статистика распределений;
  • DiscreteDistributions — функции дискретных распределений;
  • HypothesisTests — проверка статистических гипотез;
  • LinearRegression — линейная регрессия;
  • MultiDescriptiveStatistics — статистика многомерных распределений;
  • MultinormalDistribution — функции многомерных нормальных распределений;
  • NonlinearFit — нелинейная регрессия;
  • NormalDistribution — функции нормального распределения;
  • Common — данные общего характера.

Как и ранее, для работы каждого из подпакетов требуется его загрузка в память компьютера с помощью команды

<<Statistics`Имя_подпакета`

Имена подпакетов расширения статистики приведены выше.

Манипуляции с данными — DataManipulation

Статистические данные обычно бывают представлены в виде списков — как одномерных, так и двумерных (таблиц и матриц) и даже многомерных. Большая часть функций, обеспечивающих манипуляции с данными, сосредоточена в подпакете DataManipulation.

Данные могут вводиться в строках ввода или считываться из файлов с помощью функции ReadList. Для манипуляций с данными могут использоваться многие функции ядра системы, описанные ранее, — в частности, все функции обработки списков. Подпакет DataManipulation дает ряд удобных функций. Ниже представлена первая группа таких функций:

  • Column [data, n] — возвращает n-й столбец списка data;
  • Column [data, {nl, n2,...}] — возвращает список из столбцов ni списка данных;
  • ColumnTake [data, spec] — возвращает столбцы списка data с данной спецификацией spec;
  • ColumnDrop [data, spec] — удаляет столбцы списка data с данной спецификацией spec;
  • Column Jo in [datal, data2,...] — объединяет столбцы списков datai;
  • RowJoin [datal, data2,...] — объединяет строки списков datai;
  • DropNonNumeric [data] — удаляет из списка data нечисловые элементы;
  • DropNonNumericColumnfdata] — удаляет из списка data столбцы с нечисловыми элементами.

Примеры применения этих функций:

<<Statistics`DataManipulation `

data = {{а, 3}, {b, 6}, {с, 4}, {d, i},

{e, 5}, {i 4}}

{{a, 3}, {b, 6}, {c, 4}, {d, i}, {e, 5), {f, 4}}

col2 = Column[data, 2]

{3, 6, 4/i, 5, 4}

newdata = DropNonNumeric[col2]

{3, 6, 4, 5, 4}

Полезны также следующие функции подпакета:

  • BooleanSelect [list, sel] — удаляет из list элементы, которые дают True при тестировании выражения sel;
  • TakeWhile [list,pred] — удаляет из list все элементы, начиная с того, для которого pred дает True;
  • LengthWhile [list,pred] — возвращает число элементов, которые были удалены после того, как pred дало значение True (отсчет с начала списка).

Примеры применения этих функций:

TakeWhile[col2, NumberQ]

(3,6, 4}

LengthWhile[col2, NumberQ]

3

 

Построение гистограмм

Ряд функций служит для подготовки данных с целью построения гистограмм:

  • Frequencies [list] — готовит данные для представления частотной гистограммы;
  • QuantileForm[list] — дает отсортированные данные для представления квантилей;
  • CumulativeSums [list] — дает кумулятивное суммирование данных списка.

Пример построения гистограммы по данным списка из двойных элементов с помощью функции Frequencies дан на рис. 12.1. Для построения графика при этом использована функция BarChart из пакета расширения Graphics.

Рис. 12.1. Пример построения гистограммы по данным функции Frequencies

Для подготовки гистограмм могут использоваться и следующие функции:

BinCounts[data,{min,max,dx}]

RangeCounts [data, {cl, c2,...} ]

CategoryCounts [data, {el, e2,...} ]

BinLists[data,{min,max,dx}]

RangeLists [data, {cl,c2,...} ]

CategoryLists [data, {el, e2,...} ]

С примерами их работы можно ознакомиться по справочной системе Mathenatica, содержащей полное описание данного подпакета.

 

Статистика распределений — DescriptiveStatistics

В подпакете DescriptiveStatistics сосредоточены наиболее важные функции по статистике распределений:

  • CentralMoment (data, r) — возвращает центральный момент данных data порядка r;
  • Mean [data] — возвращает среднее значение данных data;
  • MeanDeviation [data] — возвращает среднее отклонение данных;
  • Median [data] — возвращает центральное значение (медиану) данных;
  • MedianDeviation [data] — возвращает абсолютное отклонение (от медианы) данных;
  • Skewness [data] — возвращает коэффициент асимметрии данных;
  • StandardDeviation [data] — возвращает стандартное отклонение данных;
  • GeometricMean [data] — возвращает геометрическое среднее данных;
  • HarmonicMean [data] — возвращает гармоническое среднее данных;
  • RootMeanSquare [data] — возвращает среднеквадратичное значение данных;
  • Quantile [data, q] — возвращает q-й квантиль;
  • InterpolatingQuantile [data, q] — возвращает q-й квантиль, используя при вычислениях интерполяцию данных;
  • VarianceData [data] — возвращает среднеквадратичное отклонение данных.

Мы не приводим определений этих функций, поскольку при символьных данных data их легко получить именно в том виде, который реализован в системе Mathematica:

ds={xl,x2,x3} {xl, x2, хЗ}

Mean[ds]

1/3 *(xl + x2 + x3)

MeanDeviation[ds]

1/3 (Abs[xl + — (-xl-x2-x3)] +

Abs[x2+ 1/3 (-xl-x2-x3) + Abs 1/3[-xl-x2-x3) +хЗ])

Median[ds]

x2

Variancefds]

1/2((x1+1/3(-xl + x2 - x3))2 + (x2 + 1/3 (-xl-x2-x3))2 + (— (-xl-x2-x3) + x3)2)

Skewness[ds]

(SQRT(3) ( (xl 4- -1 (-xl - x2 - x3))3 +

(x2+1/3 (-xl-x2-x3))3 + (1/3 (-xl -x2- x3) + x3))2 /

(x2+ 1/3 (-xl-x2-x3))2 +(1/3 (-xl-x2-x3) +х3)2 )^(3/2)

Следующие примеры поясняют действие этих функций при обработке численных данных:

<<Statistics'DescriptiveStatis tics'

data:={10.1,9.6,11,8.2,7.5,12,8.6,9}

CentralMoment[data,2]

1.9525

Mean[data]

9.5

MeanDeviation[data]

1.175

Median[data]

9.3

MedianDeviation[data]

0.95

Skewness[data]

0.374139

StandardDeviation[data]

1.4938

GeometricMean[data]

9.39935

HarmonicMean[data]

9.30131

RootMeanSquare[data]

9.60221

Quantile[data,1]

12

InterpolatingQuantile[data,1]

InterpolatingQuantile[

{10.1, 9.6, 11, 8.2, 7.5, 12, 8.6, 9), 1]

Variance[data]

2.23143

С рядом других, менее распространенных функций этого подпакета можно ознакомиться с помощью справочной системы. Там же даны примеры их применения.

Сглаживание данных — DataSmoothing

В подпакете DataSmoothing определены функции для сглаживания данных, имеющих большой случайный разброс. К таким данным обычно относятся результаты ряда физических экспериментов, например по энергии элементарных частиц, или сигналы, поступающие из космоса. Для того чтобы отсеять информацию из таких данных с большим уровнем шумов и применяется процедура сглаживания. Она может быть линейной (например, усреднение по ряду точек) или нелинейной.

Определены следующие функции сглаживания:

  • MovingAverage [data, r] — сглаживание данных data методом усреднения для г точек;
  • MovingMedian [data, r] — сглаживание данных data по медиане для г точек (опция RepeatedSmoothing->True используется для повторного сглаживания);
  • LinearFilter [data, {c0, cl,..., сr-1} ] — линейная фильтрация (сj— весовые множители);
  • ExponentialSmoothing [data, a] — экспоненциальное (нелинейное) сглаживание, параметр а задает степень сглаживания.

Ниже представлены результаты сглаживания символьных данных, выявляющие соотношения, используемые при сглаживании:

ds : = {xl, х2 , хЗ , х4 , х5}

MovingAverage[ds,3]

{1/3* (xl + x2 + x3), — (х2 + хЗ + х4), — (хЗ + х4 + х5)}

MovingMedian[ds,3]

{х2, хЗ, х4}

ExponentialSmoothing[ds, 0.2]

{xl, xl + 0.2 (-xl + x2) , xl+0.2 (-xl + x2) +0.2 (-xl-0.2 (-xl + x2) + x3) , xl+0.2(-xl+x2)+0.2 (-xl-0.2 (-xl + x2) +x3) +

0.2 (-xl-0.2 (-xl+x2) - 0.2 (-xl- 0.2 (-xl + x2) + x3) + x4) , xl+0.2(-xl + x2) +0.2(-xl-0.2(-xl + x2) +x3) + 0.2 (-xl- 0.2 (-xl+x2) -0.2(-xl-0.2(-xl + x2) + x3) + x4) + 0.2 (-xl- 0.2 (-xl+x2) - 0.2 (-xl- 0.2 (-xl+x2) + x3) -

0.2 (-xl-0.2 (-xl+x2) -0.2 (-xl-0.2 (-xl + x2) + x3) + x4) + x5)}

Применение сглаживания усреднением иллюстрирует рис. 12.2. На нем задан массив (таблица) из 500 случайных точек с равномерным распределением и создан графический объект из этих точек в виде кружков малого диаметра. Затем выполнена операция сглаживания (по 12 смежным точкам) и создан графический объект сглаженных точек в виде кружков большего диаметра. Для сопоставления оба объекта построены на одном графике функцией Show.

Рис. 12.2. Пример линейного сглаживания данных из 500 точек

Нетрудно заметить, что сглаженные точки группируются вокруг среднего значения, равного 0.5, тогда как исходные точки разбросаны практически равномерно по всему полю рисунка. Эффективность нелинейного (экспоненциального) сглаживания демонстрирует рис. 12.3. Показанный на этом рисунке документ построен по тому же принципу, что и документ рис. 12.2.

Остальные функции сглаживания можно использовать аналогичным образом. Выбор метода сглаживания зависит от решаемых пользователем задач и остается за ним.

Рис. 12.3. Пример экспоненциального сглаживания

 

Другие подпакеты расширения Statistics

Подпакет NormalDistribution содержит хорошо известные функции нормального распределения вероятностей и родственные им функции следующих распределений:

  • NormalDistribution [mu, sigma] — нормальное распределение;
  • StudentTDistribution [r] — T-распределение Стьюдента;
  • ChiSquareDistribution [r] — X 2 -распределение;
  • FRatioDistribution [rl, r2] — F-распределение.

Для этих и многих других непрерывных распределений заданы также функции плотности распределения, среднего значения, среднеквадратичного отклонения, стандартного отклонения, вычисления коэффициента асимметрии и т. д. Целый ряд таких функций задан и в подпакете ContinuousDistributions для ряда функций непрерывного распределения. Мы не приводим их, поскольку они подобны функциям обработки списков, описанным выше.

Рисунок 12.4 иллюстрирует получение выражения для плотности нормального распределения pdf и получение графика плотности этого распределения со смещенной вершиной.

Подпакет DiscreteDistributions содержит подобные функции для дискретного распределения вероятностей (Пуассона, биномиального, гипергеометрического и иных распределений). Таким образом, три упомянутых подпакета охватывают практически все имеющие применение законы распределения. Функции для оценки доверительных интервалов сосредоточены в подпакете Confidencelntervals.

Рис. 12.4. Пример работы с функцией нормального распределения

В подпакете HypothesisTests сосредоточено сравнительно небольшое число хорошо известных функций для выполнения тестов проверки статистических гипотез. Загрузка пакета и проведение теста на среднее значение показаны ниже:

<<Statistics` HypothesisTests`

datal = {34, 37, 44, 31, 41, 42, 38, 45, 42, 38};

MeanTest[datal, 34, KnownVariance -> 8]

QneSidedPValue -> 3.05394 x 10-9 ...

У специалистов в области статистики интерес вызовут подпакеты MultiDescriptive-Statistics и MultinormalDistribution с многочисленными функциями многомерных распределений. Они позволяют оценивать статистические характеристики объектов, описываемых функциями нескольких переменных. Рисунок 12.5 поясняет загрузку подпакета MultinormalDistribution, получение выражения для плотности нормального распределения по двум переменным xl и х2 и получение трехмерного графика для плотности такого распределения.

Подпакет Common используется остальными подпакетами пакет Statistics.

Рис. 12.5. Получение аналитического выражения и графика нормального распределения по двум переменным